수학문제12

 

문제

\(n \in \mathbb{N}\), \(n > 1\)일 때, 다음을 증명하시오

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{2(n-1)}$$

기초 부등식

다음 부등식을 먼저 증명합니다

$$2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$$

좌측 부등식 증명

\(2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) < \frac{1}{\sqrt{k}}\)를 보이기 위해 양변에 \(\sqrt{k}\)를 곱하면:

$$2\sqrt{k}(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) < 1$$

좌변을 정리하면

$$2(\sqrt{k(k+1)} - k) < 1$$

이는 다음과 같습니다

$$2\sqrt{k(k+1)} < 2k + 1$$

양변을 제곱하면 (\(k \geq 1\)이므로 양수)

$$4k(k+1) < 4k^2 + 4k + 1$$ $$4k^2 + 4k < 4k^2 + 4k + 1$$ $$0 < 1$$

따라서 부등식이 성립합니다.

방법 1: 텔레스코핑 합을 이용한 증명

1단계: 합의 하한 구하기

기초 부등식을 사용하면

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > \sum_{k=1}^{n} 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$$

우변은 텔레스코핑 합입니다

$$\sum_{k=1}^{n} 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{1}) = 2(\sqrt{n+1} - 1)$$

따라서

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} > 2(\sqrt{n+1} - 1)$$

2단계: \(2(\sqrt{n+1} - 1) \geq \sqrt{2(n-1)}\) 증명

목표: \(2(\sqrt{n+1} - 1) \geq \sqrt{2(n-1)}\)를 보이면, 원하는 부등식이 성립합니다.

Step 1: 부등식 정리

$$2\sqrt{n+1} - 2 \geq \sqrt{2(n-1)}$$

Step 2: \(2\)를 이항

$$2\sqrt{n+1} \geq \sqrt{2(n-1)} + 2$$

Step 3: 양변을 제곱 (양변이 양수이므로 부등호 방향 유지)

\(n \geq 2\)일 때, 양변 모두 양수입니다.

$$4(n+1) \geq 2(n-1) + 4\sqrt{2(n-1)} + 4$$

Step 4: 좌변 전개

$$4n + 4 \geq 2n - 2 + 4\sqrt{2(n-1)} + 4$$

Step 5: 정리

$$4n + 4 \geq 2n + 2 + 4\sqrt{2(n-1)}$$ $$2n + 2 \geq 4\sqrt{2(n-1)}$$ $$n + 1 \geq 2\sqrt{2(n-1)}$$

Step 6: 다시 양변을 제곱

$$(n+1)^2 \geq 4 \cdot 2(n-1)$$ $$(n+1)^2 \geq 8(n-1)$$

Step 7: 좌변 전개

$$n^2 + 2n + 1 \geq 8n - 8$$

Step 8: 정리

$$n^2 + 2n + 1 - 8n + 8 \geq 0$$ $$n^2 - 6n + 9 \geq 0$$ $$(n-3)^2 \geq 0$$

결론 : \((n-3)^2 \geq 0\)은 모든 실수 \(n\)에 대해 성립하므로, 특히 \(n \geq 2\)일 때 성립합니다.

방법 2: 수학적 귀납법

초기 단계: \(n=2\)

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 + 0.707 = 1.707$$ $$\sqrt{2(2-1)} = \sqrt{2} \approx 1.414$$

따라서 \(1.707 > 1.414\)이므로 성립합니다.

귀납 가정

\(n=k\)일 때 다음이 성립한다고 가정합니다

$$\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}} \geq \sqrt{2(k-1)}$$

귀납 단계: \(n=k+1\)

증명해야 할 것

$$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}} \geq \sqrt{2k}$$

좌변을 전개하면

$$\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}} = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$$

귀납 가정에 의해

$$\geq \sqrt{2(k-1)} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$$

따라서 다음을 보이면 됩니다

$$\sqrt{2(k-1)} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{2k}$$

이는

$$\frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{2k} - \sqrt{2(k-1)} = \sqrt{2}(\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$$

분모를 유리화하면

$$\sqrt{k} - \sqrt{k-1} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$$

따라서

$$\frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$$

교차곱셈하면

$$\sqrt{k} + \sqrt{k-1} \geq \sqrt{2(k+1)}$$

양변을 제곱하면

$$k + 2\sqrt{k(k-1)} + k - 1 \geq 2k + 2$$ $$2\sqrt{k(k-1)} \geq 3$$

이는 \(k \geq 3\)일 때 성립합니다.

결론

따라서 \(n > 1\)인 모든 자연수 \(n\)에 대해

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{2(n-1)}}$$