a^f(x)의 미분 증명

 

\(a^{f(x)}\)의 미분 증명 (단, \(a > 0\), \(a \neq 1\))

필요한 사전 지식

• \(\displaystyle\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a\)
• \(\displaystyle\frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = e^{f(x)} \cdot f'(x)\)
• 연쇄법칙 (Chain Rule)
• \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a\)

방법 1: 연쇄법칙을 직접 적용

연쇄법칙

합성함수 \(g(f(x))\)의 도함수는:

$$\frac{d}{dx}[g(f(x))] = g'(f(x)) \cdot f'(x)$$

적용

\(g(u) = a^u\)이고 \(u = f(x)\)인 합성함수로 봅니다.

연쇄법칙을 적용하면:

$$\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = \frac{d}{du}(a^u) \cdot \frac{d}{dx}[f(x)]$$

\(\displaystyle\frac{d}{du}(a^u) = a^u \ln a\)이므로:

$$= a^u \ln a \cdot f'(x)$$

\(u = f(x)\)를 다시 대입하면:

$$= a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x)$$

∴ \(\boxed{\displaystyle\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)}\)

방법 2: 지수-로그 변환과 연쇄법칙 사용

임의의 양수 \(a\)에 대해 다음이 성립합니다:

$$a^{f(x)} = e^{\ln(a^{f(x)})} = e^{f(x) \ln a}$$

양변을 \(x\)에 대해 미분하면 (연쇄법칙 사용):

$$\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = \frac{d}{dx}[e^{f(x) \ln a}]$$

\(u = f(x) \ln a\)로 놓으면, 연쇄법칙에 의해:

$$= e^{f(x) \ln a} \cdot \frac{d}{dx}[f(x) \ln a]$$

\(\ln a\)는 상수이므로:

$$= e^{f(x) \ln a} \cdot \ln a \cdot f'(x)$$

\(e^{f(x) \ln a} = a^{f(x)}\)를 다시 대입하면:

$$= a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)$$

∴ \(\boxed{\displaystyle\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)}\)

방법 3: 도함수의 정의를 사용한 엄밀한 증명

도함수의 정의

$$\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x+h)} - a^{f(x)}}{h}$$

단계별 전개

Step 1: 분자를 인수분해

$$= \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x+h)} - a^{f(x)}}{h}$$

\(a^{f(x)}\)를 인수분해:

$$= \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x)} \cdot a^{f(x+h) - f(x)} - a^{f(x)}}{h}$$ $$= \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x)}(a^{f(x+h) - f(x)} - 1)}{h}$$

Step 2: 극한의 성질 이용

\(a^{f(x)}\)는 \(h\)에 대한 상수이므로:

$$= a^{f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x+h) - f(x)} - 1}{h}$$

Step 3: 분자·분모에 \(f(x+h) - f(x)\)를 곱하고 나눔

$$= a^{f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \left[\frac{a^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right]$$

Step 4: 극한을 분리

$$= a^{f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{f(x+h) - f(x)} - 1}{f(x+h) - f(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Step 5: 각 극한을 계산

\(k = f(x+h) - f(x)\)로 치환하면:

• \(h \to 0\)일 때 \(k \to 0\) (함수의 연속성 가정)
• 첫 번째 극한: \(\displaystyle\lim_{k \to 0} \frac{a^k - 1}{k} = \ln a\)
• 두 번째 극한: \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\)

따라서:

$$= a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)$$

∴ \(\boxed{\displaystyle\frac{d}{dx}[a^{f(x)}] = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)}\) 증명 완료