정수나 유한소수가 아닌 유리수는 순환소수임을 보여라.

임의의 유리수를 q/p라 하고, 나눗셈을 통해 소수전개를 구하는 과정이라하자.
소수점 이하의 자리를 계산할 때는 항상 p보다 작은 수가 나머지로 남게 된다.
p보다 작은 나머지는 음이 아닌 정수이므로 유한 개(p개)이다. 따라서 나눗셈을 계속 하다 보면 같은 나머지가 반드시 생긴다.

즉, 소수점 이하 i번째와 j번째를 계산할 때 나머지 가 같아지는 경우가 반드시 있다.
i번째 자리를 계산할 때부터와 j번째 자리를 계산할 때부터의 과정이 완전히 일치하게 되므로
i번째부터의 소수전개와 j번째부터의 소수전개가 같다.
따라서 길이 가 (j - i) 또는 (j - i)의 약수인 순환마디가 생긴다.