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부분분수 분해를 이용한 증명
\( k \geq 2 \)일 때 \[ \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \]
급수 변환
원래 급수 \[ S_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \] 부분분수로 대체 \[ S_n < 1 + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) \]
부분분수 급수 계산
\[ 1 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \] 중간 항 소거 후 \[ = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} \]
결론
모든 자연수 \( n \geq 1 \)에 대해 \[ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n} \]
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