수학 사랑

산술 ≥ 기하 ≥ 조화 평균 $ \displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a + b} $ AM ≥ GM: $ \displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ $ \displaystyle a + b \geq 2\sqrt{ab} $ $ \displaystyle (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 $ GM ≥ HM: $ \displaystyle \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a + b} $ $ \displaystyle a + b \geq 2\sqrt{ab} $ \( \displa..

2부터 9까지 배수판정법2의 배수판정법: 일의 자리 수가 0, 2, 4, 6, 8인 수3의 배수판정법: 각 자리 숫자의 합이 3의 배수인 수4의 배수판정법: 마지막 두 자리 수가 00이거나 4의 배수인 수예: 1324 → 24가 4의 배수이므로 1324도 4의 배수5의 배수판정법: 일의 자리 수가 0 or 5인 수예: 25, 406의 배수판정법: 2의 배수이고 3의 배수인 수예: 24 → 짝수이면서 3의배수 2+4=67의 배수판정법: 일의 자리 수를 두 배 한 것을 나머지 부분에서 뺀 결과가 0 또는 7의 배수인 수예: 154 → 15 - (4×2) = 78의 배수판정법: 마지막 세 자리 수가 000이거나 8의 배수인 수예: 3256 → 256이 8의 배수이므로 3256은 8의 배수9의 배수판정법: 각 ..

명제 모든 자연수 n ≥ 5에 대해 n² 임을 증명한다. 증명 과정 1. 기초 단계 n = 5일 때, 5² = 25 2. 귀납 가정 어떤 k ≥ 5에 대해 k² 3. 귀납 단계 (k + 1)² = k² + 2k + 1 여기서 2k + 1 2ᵏ + 2k + 1 따라서 (k + 1)² 결론 수학적 귀납법에 의해 모든 n ≥ 5에 대해 n² 이 성립한다.

하노이의 탑 점화식 유도 하노이의 탑에서 n개의 원판을 옮기는 데 필요한 최소 이동횟수를 a(n)이라 할 때 점화식은 아래와 같다. 점화식 a(n) = 2a(n-1) + 1 (n ≥ 2) a(1) = 1 (초항) 점화식 유도 과정 n개의 원판을 한 막대에서 다른 막대로 옮기는 과정을 세 단계로 나눌 수 있다. 상위 n-1개의 원판을 보조 막대로 옮기기 a(n-1)회 가장 큰 원판을 목표 막대로 옮기기 1회 보조 막대의 n-1개 원판을 목표 막대로 옮기기 a(n-1)회 총 이동횟수는 아래와 같다. a(n) = a(n-1) + 1 + a(n-1) = 2a(n-1) + 1 일반항 유도 ..

부분분수 분해를 이용한 증명$ k \geq 2 $일 때 \[ \frac{1}{k^2} 급수 변환원래 급수 \[ S_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \] 부분분수로 대체 \[ S_n 부분분수 급수 계산\[ 1 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \] 중간 항 소거 후 \[ = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} \]결론모든 자연수 $ n \geq 1 $에 대해 \[ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac..

오일러 공식과 오일러 항등식 증명 이용할 테일러 급수 지수함수의 테일러 급수 $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ sin(x)의 테일러 급수 $$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$ cos(x)의 테일러 급수 ..